F2. Планетная система - 2

В этой задаче на проверку необходимо сдать текстовый файл с ответом. Входные данные вы можете скачать, нажав на кнопку с изображением стрелки справа-сверху рядом с кнопкой «Объявления жюри».

Давным-давно в далекой галактике существовала планетная система, состоящая из $n$ планет. Каждую планету этой системы можно представить как точку с целыми неотрицательными координатами в $m$-мерном пространстве, таким образом, каждая планета имеет $m$ координат.

Обозначим за $c_{i,j}$ - $j$ -ю координату $i$ -й планеты.

Известно, что для каждой планеты $i(1 \leq i \leq n)$ выполнено неравенство $0 \leq c_{i, j} < q_j$ по всем $j(1 \leq j \leq m)$. Иными словами, $j$-я координата любой планеты строго меньше некоторого значения $q_j$.

Так же известно, что в системе не существует планет с совпадающими координатами.

Находясь на планете $a$, можно совершить прямой перелет на другую планету $b$, если и только если каждая координата планеты $b$ не превосходит соответствующей координаты планеты $a$. Более формально, с планеты $a$ можно совершить прямой перелет на планету $b$, если для всех $j$ от 1 до $m$ выполнено неравенство: $c_{b, j} \leq c_{a, j}$.

В системе есть $k$ обитаемых планет, имеющих номера $x_1, x_2, ..., x_k$, все остальные планеты считаются необитаемыми.

Назовем последовательность планет $y_1, y_2, ..., y_r$ путем, если для каждого $i(1 \leq i < r)$ можно напрямую перелететь с планеты $y_i$ на планету $y_{i+1}$. Два пути будем считать различными, если последовательности планет в них отличаются.

Император галактики просит вас для каждой планеты от $1$ до $n$ посчитать количество различных путей, начинающихся в этой планете и заканчивающихся в некоторой обитаемой планете по модулю $10^9 + 7$.